2023.09.21 2023.12.27

売上最適化やリスク評価も！変化を数式で捉える微分積分学の実用性

理人

高校や大学での数学の授業で習得される微分積分学は、一見、抽象的に感じるかもしれませんが、非常に大きな実用的価値を持っています。

微分積分学とは、関数の変化や形状を数学的に捉え、理解する微分と、関数で定義される領域の面積・体積を求める積分からなる学問です。以前の記事でも触れましたが、微分積分学と線形代数学は現代の多くの技術や産業を支えています。この記事では、微分積分学の基本的な考え方と、それが日常生活やビジネスにどのように役立つのかを解説します。

現代社会は線形代数が支えている！行列とベクトルが重要である背景線形代数は、微分積分と同様に現代のテクノロジーを支える基礎的かつ重要な要素の一つです。物理や通信、建築などいろいろな産業で幅広く使われ、ビッグデータやAI、量子コンピューターなどでも不可欠です。その背景を見てみましょう。

あなたの持つ微分・積分へのイメージは？

多くの人が、微分積分学を難解な数学として認識しているかもしれません。または、下の図のような計算問題として認識しているでしょうか？しかし、微分積分学は実際には、私たちの周りの多くの現象やビジネスの意思決定に、密接に関わっています。

微分とは変化を捉えること

「微分」とは、変化の割合を表すものです。

日常生活でよく使われる「速度」を考えてみましょう。車が1時間で100キロメートル進んだら、その速度は100km/1h＝100km/hとなります。この「速度」は、移動した距離の変化の割合を示しており、これが微分の基本的な考え方です。

数学的には、グラフがどれだけ傾いているかを知るために微分を使います。例えば、$y = x^2$ という放物線のグラフを考えると、$x=0$の時、グラフは最も平らですが、$x$が増減するにつれて急勾配になります。微分を使うと、その傾きの具体的な度合いを数値で示すことができます。

要するに、微分は「ある瞬間の変化の割合」を知るためのツールです。これにより、物事の変化の様子や傾向を理解し、予測するのに役立てることができます。

最適化に微分が必須

企業が利益を最大化したり、製品の性能を最適化するためには、最適な条件を見つけ出す必要があります。そのための数学的なアプローチとして、微分が不可欠です。

最適化は、多くのビジネスや科学の問題において中心的な役割を果たします。具体的には、ある条件のもとでの最大値や最小値を求めることを指します。例えば、製品のコストを最小にしながら品質を最大にする、あるいは広告予算を最適に配分してリターンを最大化するなど、さまざまなシチュエーションでの「最適」を追求することが求められます。

この「最適」を数学的に探るツールとして微分が登場します。具体的には、ある関数のグラフが最大値や最小値を取る点を見つけるために、微分を使います。微分によって得られる導関数は、グラフの傾きを示すものです。この導関数が0となる点は、元の関数の最大値や最小値となる可能性が高いため、これを利用して最適解を導き出します。

例として、商品の販売価格とその売上高の関係を表すグラフを考えます。価格を高く設定すれば商品1つ当たりの売上は増えますが、高価すぎると購入者の数が減少してしまいます。逆に、価格を低くすれば多くの人が購入するかもしれませんが、商品1つ当たりの売上は少なくなります。適切な価格点を見つけることができれば最大の利益を得ることができるかもしれません。このような最適な価格点を見つけるために、微分を利用してグラフの最大値を探求するのです。また、AIの研究においても学習の過程で最適なモデルのパラメータを見つけるために、微分を使って最適化されています。

モデル化に欠かせない微分方程式

微分方程式とは、前述の導関数を含む方程式であり、さまざまな現象やシステムを数学的に表現するための強力なツールです。特に、時間の経過に伴う変化や、様々な変数間の関係性を捉えるために、この方程式は不可欠です。物理学や化学、生物学、工学など、多岐にわたる分野で微分方程式は活用されています。物理的な現象の理解、化学反応の速度や均衡、生物の成長率や伝染病の拡散モデル、そして電気回路の動作や機械の動き、熱の伝播など、多様な技術や現象に微分方程式の手法が見られます。これにより、複雑な問題を数学的に捉え、精確な解析や予測を行うことが可能となります。

要するに、微分方程式は現実世界の多くの現象を理解し、制御するための鍵となる数学的手法です。